admin这里我给出一个估计的做法。
估计最小值的下界(即u的最小值至少是大于多少):
首先[a,b]<=ab,[b,c]<=bc,[c,a]<=ca。
令k=a+b+c。
有：
u>=k/2-(ab+bc+ca)/k>=k/2-(a^2+b^2+c^2)/k>=k/2-k^3/(3k)=k/6.
因此u即使取到最小值，也不可能小于k/6.
我们当然希望u=k/6.那么当k取最小值时，u也取到最小值.
首先a,b,c>=2.
所以k>=6.u>=1.
这时只要u取到离1最近的或者直接取到1的时候，这个u值便是最小值.
当k=6时，u取到2.所以这样u的最小值只可能是在1到2之间，从上面的不等式可知，当k>12时，u>2.所以最小值只可能在6<=k<=12之间取得。这个界定下来后，其实就可直接通过枚举法把结果给出了。
如果有(a,b)=(b,c)=(c,a)=1时,u的最小值即在这样的数组(a,b,c)所对应的值里。下面的枚举就通过这种方法迅速找出对于每个k的最小值：
k=6有唯一的u=2.
k=7有唯一的u=3/2.
k=8有最小的u=17/8.
k=9有最小的u=37/18.
k=10有最小的u=19/10.
k=11有最小的u=53/22.
k=12有最小值u=2.
这里面最小的是k=7时的值，此时u=3/2.a=b=2,c=3是其一个对应的数组.所以u的最小值为3/2.
这个问题要分两步，一是证明32可行，二是证明31不可行。
第一步直接验证下面的策略一定可行
111, 212, 313, 414
122, 223, 324, 421
133, 234, 331, 432
144, 241, 342, 443
555, 656, 757, 858
566, 667, 768, 865
577, 678, 775, 876
588, 685, 786, 887
第二步用几何模型来叙述可以简洁一点，考察R^3中的格点{1,2,3,4,5,6,7,8}^3，每尝试一个点相当于验证了过该点且与坐标轴平行的三条直线上的点（22个）。
如果只取了31个检验点，考察垂直于z轴的8个平面，不妨设z=1上检验点最少。
若z=1上只有不超过2个检验点，那么该平面上至少有64个点要由上面7层的点来覆盖，矛盾。所以该平面上有3个检验点。
z=1上至少还有25个点不在由这3个点（记为A类点）生成的直线上，需要由上面7层平面中的点来覆盖（取出满足条件的25个记为B类点），还余下3个自由的点记为C类点。
A类点生成的直线最多覆盖64-25+3*7=60个点；
B类点生成的直线最多覆盖25*(8+6)=350个点；
C类点生成的直线最多覆盖3*21=63个z=0平面以外的点(z=0上的点已经全部被统计过)。
这些点加起来不足以覆盖所有的512个点。
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本文概览：这里我给出一个估计的做法。估计最小值的下界(即u的最小值至少是大于多少):首先[a,b]<=ab,[b,c]<=bc,[c,a]<=ca。令k=a+b+c。有...
文章不错《高中数学竞赛题100道》内容很有帮助